integral of 1/cos^2(x/4)

1. Анализ интеграла: Нам нужно вычислить неопределенный интеграл вида $I = \int \frac{dx}{\cos^2(\frac{x}{4})}$.

1. Применение формулы интегрирования: Мы знаем табличную формулу для интеграла: $\int \frac{dx}{\cos^2(ax)} = \frac{1}{a} \operatorname{tg}(ax) + C$. В нашем случае $a = \frac{1}{4}$.

3. Вычисление: Подставим значение $a$ в формулу:
$$\int \frac{dx}{\cos^2(\frac{x}{4})} = \frac{1}{1/4} \operatorname{tg}(\frac{x}{4}) + C = 4 \operatorname{tg}(\frac{x}{4}) + C$$

1. Сравнение с условием: По условию задачи интеграл равен $k \operatorname{tg}(\frac{x}{4}) + C$. Сравнивая полученный результат $4 \operatorname{tg}(\frac{x}{4}) + C$ с выражением из условия, мы видим, что коэффициент $k = 4$.